结合上面信号分析角度的回答，我说一点自己的理解。
先说基本定义：
1.随机过程X(t,e)确定时间t，得到一个随机变量X(e)；
2.随机过程X(t,e)确定样本点e，得到一个定义域为T，值域为状态空间子集的普通函数X(t)，即样本函数，又称轨道。
随机过程可以看成一族随机变量的集合，也可以看成一族样本函数的集合。
我的理解是：
第一句话是在t时刻竖切一刀，从截面上得到此时刻下的概率分布；
第二句话是从随机过程这个很多缕曲线组成的“麻绳”中，横向拉出一条样本点e，取出不确定的随机过程中的一条确定的“实例”。这个“实例”消除了不确定性，所以是普通函数，图形表现为一条曲线。
例如：
在一个盒子中放置一个随机游走的粒子，观察其x方向的位置X(t,e)，这是一个随机过程。
在时刻t打开盒子观察，此时粒子各位置的可能性即构成了**随机变量X(e)**；
在[0,+∞)的时间段内一直打开盒子观察，得到此次观察中每个t时刻粒子的确定位置并记录，得到一个关于t的确定函数曲线，即为**样本函数X(t)**。
关于各态历经性：
刚才这个例子中，随机过程是具有各态历经性的，因为只要观察时间足够长，那么这个粒子必然会经过盒子中的任一点，即取得的这条样本函数X(t)的值域遍历了整个状态空间。
我们把粒子换成一个静止的小木块，初始时刻放在盒子里的随机位置，那么接下来其x方向位置也可以视作一个随机过程X(t,e)=A(e)，只不过是一个等于不随时间变化的常随机变量A(e)的随机过程。当我们在t时刻观察，由于初始位置是随机的，所以我们观察到的各种可能性即构成随机变量X(e)=A(e)；而我们持续观察，则会得到一条普通函数X(t)=a，即此时样本函数为一条平行于t轴的直线，值域为常数a，显然不能覆盖全部状态空间，而且观察时间再长也不会改变，此随机过程无各态历经性。
一点浅薄理解，若有错误，希望数学专业大佬能够指正。