怎样理解随机过程中的样本函数

结合上面信号分析角度的回答,我说一点自己的理解。


先说基本定义:

1.随机过程X(t,e)确定时间t,得到一个随机变量X(e);

2.随机过程X(t,e)确定样本点e,得到一个定义域为T,值域为状态空间子集的普通函数X(t),即样本函数,又称轨道。


随机过程可以看成一族随机变量的集合,也可以看成一族样本函数的集合。


我的理解是:

第一句话是在t时刻竖切一刀,从截面上得到此时刻下的概率分布;

第二句话是从随机过程这个很多缕曲线组成的“麻绳”中,横向拉出一条样本点e,取出不确定的随机过程中的一条确定的“实例”。这个“实例”消除了不确定性,所以是普通函数,图形表现为一条曲线。


例如:

在一个盒子中放置一个随机游走的粒子,观察其x方向的位置X(t,e),这是一个随机过程。

在时刻t打开盒子观察,此时粒子各位置的可能性即构成了随机变量X(e)

在[0,+∞)的时间段内一直打开盒子观察,得到此次观察中每个t时刻粒子的确定位置并记录,得到一个关于t的确定函数曲线,即为样本函数X(t)


关于各态历经性:

刚才这个例子中,随机过程是具有各态历经性的,因为只要观察时间足够长,那么这个粒子必然会经过盒子中的任一点,即取得的这条样本函数X(t)的值域遍历了整个状态空间。

我们把粒子换成一个静止的小木块,初始时刻放在盒子里的随机位置,那么接下来其x方向位置也可以视作一个随机过程X(t,e)=A(e),只不过是一个等于不随时间变化的常随机变量A(e)的随机过程。当我们在t时刻观察,由于初始位置是随机的,所以我们观察到的各种可能性即构成随机变量X(e)=A(e);而我们持续观察,则会得到一条普通函数X(t)=a,即此时样本函数为一条平行于t轴的直线,值域为常数a,显然不能覆盖全部状态空间,而且观察时间再长也不会改变,此随机过程无各态历经性。


一点浅薄理解,若有错误,希望数学专业大佬能够指正。