最初接触坐标系变换时，很难形象理解所乘矩阵的含义，现在我归纳一下向量坐标的坐标系变换（即不需要考虑位移）的简易理解：
本篇文章中所讨论坐标系均为笛卡尔正交坐标系
设旧坐标系与新坐标系，其中新旧坐标系的区分方式为新坐标系的坐标轴由旧坐标系表示，已知新坐标系的坐标轴在旧坐标系$XYZ$下的表示分别为向量$T$, $B$, $N$。
当已知向量旧坐标系下坐标$(x, y, z)$，求新坐标系下坐标时，则直接考虑求$(x, y, z)$在新坐标轴上的投影，即分别求$t = (x, y, z) \cdot T$, $b = (x, y, z) \cdot B$, $n = (x, y, z) \cdot N$， 即待求坐标$(t, b, n)$为：
$$
(x, y, z) \cdot
\left[
\begin{matrix}
T_x & B_x & N_x \\
T_y & B_y & N_x \\
T_z & B_z & N_z
\end{matrix}
\right]
$$
当已知向量新坐标系下坐标$(t, b, n)$，求旧坐标系下坐标时，由于坐标$(t, b, n)$各分量分别代表相应轴方向上的长度，则直接考虑将当前坐标$(t, b, n)$各分量分别与相应轴相乘之后再合成，即求$t (T_x, T_y, T_z) + b (B_x, B_y, B_z) + n (N_x, N_y, N_z)$，其中$X$轴上的分量为$tT_x + bB_x + nN_x$，以此类推，即待求坐标$(x, y, z)$为：
$$
(t, b, n) \cdot
\left[
\begin{matrix}
T_x & T_y & T_z \\
B_x & B_y & B_z \\
N_x & N_y & N_z
\end{matrix}
\right]
$$
正好可以发现两个变换矩阵互为转置，且由于坐标轴正交，则两矩阵正交，可得两个变换矩阵互为逆矩阵，这与两坐标系变换互为逆过程相符。